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第十一章 传道受业（第2页）

我们有四万万五千万同胞，文盲占据百分之八十，就是说全国只有九百万人识字，去掉一半能写自己名字没上小学的，下余的一半没上初级中学，最后上高级中学的只有总数的八分之一，一百万左右。

这个比例只有可怜的四百五十分之一，而这些人就要肩负起民族复兴的重任，借用先生的话说：革命尚未成功同志任需努力！

要完成先生的遗志就要掌握科学知识，而数学就是万学之本，是现代科学的基石，别无捷径可走。

怎么理解数学，我陈元初显然没有能力深入讨论数学这座无比深奥、巨大、辉煌的人类思想宝库，只敢十分卑微地匍匐着看一下里面各种光彩夺目的结论。

正因为如此，我愿意从宏观的视角来与同学们了解一下数学的主要分布，从而消除同学们由于过于敬畏而产生的害怕、甚至抗拒，引导同学们欣赏数学之美，从而热爱数学，献身数学。

数学有很多学派，研究方向就更多得不可胜数，但从流派来说大家比较接受的可以分为三类：逻辑主义、形式主义和直觉主义。

首先数学构建了各种逻辑体系

一个完整的逻辑就是合理的假设——缜密的演绎——结论。

西方人就是用这套思维体系构建了现代科学体系，《几何原本》是他们的第一个形式逻辑体系，几千年来他们的思维模式一脉相承。

逻辑思维是科学的基础，是创新的源泉，是理性的基础，是现代文明的基石，说他怎么重要都不为过。

这些数学家他们首先设定几个假设，然后进行推演，最后导出各种结论。

《逻辑的力量》里讲过，平面几何就是很简单的五个关于点、线、面的公设。

然后展开推理、证明，导出各种结论。

在有限的二维空间范围内这些结论非常管用。

但是世界毕竟不是无限延展的平面，黎曼几何描绘的是一个经过适当改进的球面，讲的是球面几何，当然就不会有平行线的假设。

当然如果推广到无穷的宇宙，既不是平面也不是球面，罗巴切夫斯基又构建了罗氏几何。

黎曼几何和罗氏几何就是今天我们所说的非欧几何，他们得到了与欧几里得的平面几何完全不一样的结论，但这三种几何又都是正确的，因为他们采用了不同的平行公理假设。

总之，逻辑数学就是数学家提出各种他们认为是合理的假设，通过推导和证明，得出结论。

最后有一个最厉害的数学家哥德尔证明了这样的逻辑体系是可靠的，大家可以放心使用，从而奠定了数学中最牢靠的基础。

数学家构建种种形式逻辑体系，很多在当时是没有现实意义的，纯粹是一个形式上可以自圆其说的证明，有时候是为了自娱自乐。

但是宇宙极其广大、世界无比精深，有时候在一个局部的领域，世界的构成恰好符合某个数学家构建逻辑假设前提，这时数学的威力就发挥作用了，只要现实世界的实际条件和逻辑数学的假设前提是一致的，现实世界就是按数学的推导演绎发展的。

这一点让科学家无比兴奋，他们会感叹上帝啊，世界没有超出我们可以理解的范围！

这类数学家是对人类社会贡献最大的人。

其次是形式主义

很多数学家闭门造车，不关心逻辑的前提假设，他们陶醉于各种数学符号之间的运算，好像在说我才不管这个真实世界呢，我只关心数学符号和公式之间的对称。

这类数学家非常重要，一般是由最有才华的人组成的。

前面我说过，逻辑是由假设、演绎、结论三部分组成的，这些形式主义数学家承担的是演绎工具的提供者。

我们知道演绎的过程是等量置换和不等式交换的过程，比喻说A=B，那么A+C=B+C，A>B且B>C，那么A>C。

演绎的过程基本上就是这样的过程，但是世界的等量关系不是这么容易被你发现的，深藏在事物表面的背后，有些真相甚至你明明看到了，但就是推导不过去、证明不了。

这往往是因为数学工具不够用，这些数学家就创造大量计算推演工具。

在数学大厦的建立中，只凭直觉和聪明是远远不够的，需要借助十分成熟的数学工具。

就像制造一部高性能的精密机器，只凭心灵手巧是不够的，需要借助精密的工具才行。

这些数学家发明了微积分、解析几何、线性代数、高次方程的解决方案等等，他们用这些工具来解决计算和推导中的问题，让事物的关系和真相呈现出来。

逻辑主义和形式主义的划分只是我们从远距离看有这样的划分，实际上它们是交织在一起的，逻辑主义者发明和创造了很多演绎工具，很多形式主义者也构建了自己的逻辑体系。

第三是直观主义

他们更加强调事情的客观性以及结论的可验证性。